ठोस आकारों का चित्रण 8th

- January 08, 2026

अध्याय 12 : ठोस आकारों का चित्रण

स्मरणीय तथ्य

1. ऑयलर का सूत्र (Euler’s Formula)


F + V = E + 2

जहाँ
F = फलकों की संख्या
V = शीर्षों की संख्या
E = किनारों की संख्या

2. प्रिज्म (Prism) में

यदि आधार बहुभुज के n भुजाएँ हों, तो—

शीर्षों की संख्या =
किनारों की संख्या =
फलकों की संख्या =

3. पिरामिड (Pyramid) में

यदि आधार बहुभुज के n भुजाएँ हों, तो—

शीर्षों की संख्या =
किनारों की संख्या =
फलकों की संख्या =

4. 2-D और 3-D आकृतियाँ

2-D आकृतियाँ (द्विविमीय)
त्रिभुज, आयत, वर्ग, वृत्त

3-D आकृतियाँ (त्रिविमीय)
घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, अर्धगोला, प्रिज्म, पिरामिड, चतुष्फलक

5. प्रमुख ठोस आकृतियों के तथ्य

घन / घनाभ

किनारे = 12
फलक = 6
शीर्ष = 8

त्रिभुजाकार प्रिज्म

किनारे = 9
फलक = 5
शीर्ष = 6

त्रिभुजाकार पिरामिड (चतुष्फलक)

किनारे = 6
फलक = 4
शीर्ष = 4

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

1. ऑयलर सूत्र में 2 क्या दर्शाता है?

(a) फलक
(b) संख्या
(c) किनारा
(d) शीर्ष

उत्तर – (b)

2. ऑयलर का सही सूत्र है—

(a)
(b)
(c)
(d) इनमें कोई नहीं

उत्तर – (a)

3. निम्न में से कौन-सी 2-D आकृति है?

(a) घनाभ
(b) आयत
(c) बेलन
(d) शंकु

उत्तर – (b)

4. निम्न में से कौन-सी 2-D आकृति का उदाहरण है?

(a) वर्ग
(b) घन
(c) बेलन
(d) शंकु

उत्तर – (a)

5. निम्न में से कौन 2-D आकृति नहीं है?

(a) त्रिभुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) घनाभ

उत्तर – (d)

6. इनमें से कौन द्विविमीय (2-D) नहीं है?

(a) त्रिभुज
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) शंकु

उत्तर – (d)

7. निम्न में से कौन 3-D आकृति है?

(a) गोला
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) त्रिभुज

उत्तर – (a)

8. निम्न में से कौन त्रिविमीय (3-D) आकृति नहीं है?

(a) आयत
(b) बेलन
(c) शंकु
(d) गोला

उत्तर – (a)

9. निम्न में से कौन त्रिविमीय (3-D) नहीं है?

(a) आयत
(b) प्रिज्म
(c) घन
(d) शंकु

उत्तर – (a)

10. निम्न में से कौन त्रिविमीय (3-D) नहीं है?

(a) घन
(b) घनाभ
(c) गोला
(d) त्रिभुज

उत्तर – (d)

11. इनमें से कौन इस समूह का नहीं है?

(a) घन
(b) घनाभ
(c) आयतन
(d) शंकु

उत्तर – (c)

12. निम्न में से किससे एक बहुफलक नहीं बनेगा?

(a) 3 त्रिभुज
(b) 2 त्रिभुज और 3 समांतर चतुर्भुज
(c) 8 त्रिभुज
(d) 1 पंचभुज और 5 त्रिभुज

उत्तर – (a)

13. किस त्रिविमीय आकृति में शीर्ष नहीं होता है?

(a) पिरामिड
(b) प्रिज्म
(c) शंकु
(d) गोला

उत्तर – (d)

14. एक घन में किनारों की संख्या होती है—

(a) 6
(b) 8
(c) 9
(d) 12

उत्तर – (d)

15. एक घन में फलकों की संख्या होती है—

(a) 6
(b) 8
(c) 9
(d) 12

उत्तर – (a)

16. एक घन में शीर्षों की संख्या होती है—

(a) 6
(b) 8
(c) 9
(d) 12

उत्तर – (b)

17. एक घनाभ में किनारों की संख्या होती है—

(a) 12
(b) 10
(c) 24
(d) 20

उत्तर – (a)

18. एक घनाभ में फलकों की संख्या होती है—

(a) 10
(b) 12
(c) 6
(d) 20

उत्तर – (c)

19. एक घन में शीर्षों की संख्या होती है—

(a) 6
(b) 8
(c) 10
(d) 12

उत्तर – (b)

20. एक त्रिभुजाकार प्रिज्म में किनारों की संख्या होती है—

(a) 10
(b) 12
(c) 9
(d) 20

उत्तर – (c)

21. त्रिभुजाकार प्रिज्म में फलकों की संख्या होती है—

(a) 5
(b) 10
(c) 12
(d) 8

उत्तर – (a)

22. त्रिभुजाकार प्रिज्म में शीर्षों की संख्या होती है—

(a) 6
(b) 12
(c) 8
(d) 16

उत्तर – (a)

23. किससे संबंधित है?

(a) शीर्ष
(b) फलक
(c) किनारा
(d) इनमें सभी

उत्तर – (d)

लघु उत्तरीय प्रश्न (ऑयलर सूत्र आधारित)

प्रश्न 1

F = 12, E = 30, V = ?


F + V = E + 2  
\Rightarrow 12 + V = 30 + 2  
\Rightarrow V = 20

उत्तर: शीर्षों की संख्या = 20

प्रश्न 2

V = 7, E = 9, F = ?


F + 7 = 9 + 2  
\Rightarrow F = 4

उत्तर: फलकों की संख्या = 4

प्रश्न 3

F = 4, V = 4, E = ?


4 + 4 = E + 2  
\Rightarrow E = 6

उत्तर: किनारों की संख्या = 6

ऑयलर सूत्र का सत्यापन

(a)

F = 9, V = 9, E = 16


F + V = 9 + 9 = 18  
E + 2 = 16 + 2 = 18

अतः ऑयलर सूत्र सत्यापित हुआ।

(b)

F = 6, V = 5, E = 9


F + V = 6 + 5 = 11  
E + 2 = 9 + 2 = 11

अतः ऑयलर सूत्र सत्यापित हुआ।