Chapter 1 class 10th math

1️⃣ संख्या क्या होती है? (Basic)

संख्या वह है जिससे हम गिनती, माप और गणना करते हैं।
जैसे – 1, 2, 5, 10, √2, π आदि।

2️⃣ संख्याओं के प्रकार (सबसे ज़रूरी)

(A) प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers)

👉 गिनने की संख्याएँ
1, 2, 3, 4, 5, …

(B) पूर्णांक (Whole Numbers)

👉 प्राकृत संख्याएँ + 0
0, 1, 2, 3, 4, …

(C) पूर्ण संख्याएँ / पूर्णांक (Integers)

👉 धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य
… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …

(D) परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

👉 जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके
जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0

उदाहरण:
✔ 1/2
✔ −3/5
✔ 4
✔ 0.25
✔ 0.333… (आवर्ती)

(E) अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

👉 जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता

✔ दशमलव न समाप्त होता है
✔ न दोहराता है

उदाहरण:
√2, √3, √5, π

3️⃣ वर्गमूल (Square Root) का बेसिक

✔ पूर्ण वर्ग (Perfect Square)

जिसका वर्गमूल पूर्ण संख्या हो

संख्या	वर्गमूल
1	1
4	2
9	3
16	4
25	5

👉 इनका √ परिमेय होता है

❌ अपूर्ण वर्ग (Non-Perfect Square)

जिसका वर्गमूल पूरा नहीं आता

√2, √3, √5, √7, √10 …

👉 ये सभी अपरिमेय होते हैं

4️⃣ अपरिमेय संख्या पहचानने का आसान नियम ⭐

✔ √(पूर्ण वर्ग) → परिमेय
✔ √(अपूर्ण वर्ग) → अपरिमेय

✔ परिमेय ± अपरिमेय = अपरिमेय
✔ परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय

5️⃣ HCF और LCM (बहुत ज़रूरी)

(A) HCF (महत्तम समापवर्तक)

👉 दो या अधिक संख्याओं को सबसे बड़ी संख्या जो पूरी तरह भाग दे

(B) LCM (लघुत्तम समापवर्तक)

👉 दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा गुणज

6️⃣ सबसे महत्वपूर्ण सूत्र 🔥

⭐ सूत्र 1


\text{HCF} \times \text{LCM} = \text{संख्याओं का गुणनफल}

👉 केवल दो संख्याओं के लिए

7️⃣ अभाज्य संख्या (Prime Number)

✔ जिसके केवल 2 गुणनखंड हों
✔ 1 और वही संख्या

उदाहरण:
2, 3, 5, 7, 11, 13

❌ भाज्य संख्या (Composite Number)

✔ जिसके 2 से अधिक गुणनखंड हों
उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10

8️⃣ अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorisation)

👉 किसी संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना

उदाहरण:
60 = 2 × 2 × 3 × 5

9️⃣ क्यों कुछ संख्याएँ हमेशा भाज्य होती हैं?

✔ यदि किसी व्यंजक में कोई संख्या common factor बनकर बाहर आ जाए
तो वह भाज्य होती है

जैसे:
7 × 11 × 13 + 13
= 13(7 × 11 + 1)
👉 13 common → भाज्य

🔟 परीक्षा के लिए Golden Points ✨

✔ √2, √3, √5 हमेशा अपरिमेय
✔ परिमेय ± अपरिमेय = अपरिमेय
✔ HCF × LCM = a × b
✔ पूर्ण वर्ग का √ → परिमेय
✔ अपूर्ण वर्ग का √ → अपरिमेय

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

(अभाज्य गुणनखंड, HCF–LCM)

अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात करें तथा फिर इनका LCM ज्ञात करें।
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 510 और 92 का HCF तथा LCM ज्ञात करें।
26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करें।
336 और 54 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करें।
संख्याओं 6 और 20 के अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात करें।
संख्याओं 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करें।
HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात करें।
HCF (26, 91) = 13 दिया है। LCM (26, 91) ज्ञात करें।
HCF (510, 92) = 2 दिया है। LCM (510, 92) ज्ञात करें।
HCF (336, 54) = 6 दिया है। LCM (336, 54) ज्ञात करें।
दो संख्याओं का म०स० 13 तथा ल०स० 182 है। यदि इनमें से एक संख्या 91 है, तो दूसरी संख्या का मान ज्ञात करें।
दो संख्याओं का ल०स० 20 तथा म०स० 5 है। यदि इनमें से दूसरी संख्या 5 है, तो पहली संख्या का मान ज्ञात करें।

सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 3√2 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि 5√3 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 5 − √3 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।

1. 140 के कितने अभाज्य गुणनखंड हैं ?

(a) 3
(b) 4 ✅
(c) 5
(d) इनमें कोई नहीं

2. 5005 के कितने अभाज्य गुणनखंड हैं ?

(a) 2
(b) 4 ✅
(c) 6
(d) 7

3. निम्न में 120 का अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल कौन है ?

(a) 2³ × 3 × 5 ✅
(b) 2² × 3 × 5
(c) 2 × 3 × 5
(d) 2 × 3² × 5

4. निम्न में 140 का अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल कौन है ?

(a) 2 × 3 × 5 × 7
(b) 2 × 2 × 5 × 7 ✅
(c) 2 × 2 × 3 × 5
(d) 2 × 2 × 2 × 3 × 7

5. निम्न में 156 का अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल कौन है ?

(a) 2 × 2 × 3 × 7
(b) 2 × 2 × 3 × 13 ✅
(c) 2 × 2 × 5 × 13
(d) 2 × 3 × 5 × 7

6. 72 का अभाज्य गुणनखंड है–

(a) 2³ × 3² ✅
(b) 2² × 3²
(c) 2² × 3³
(d) 2³ × 3³

7. 84 का अभाज्य गुणनखंड है–

(a) 2² × 3¹ × 7¹ ✅
(b) 2² × 3² × 7¹
(c) 2¹ × 3¹ × 7²
(d) इनमें कोई नहीं

8. 96 का अभाज्य गुणनखंड है–

(a) 2⁵ × 3¹ ✅
(b) 2³ × 3²
(c) 2⁴ × 3²
(d) 2² × 3⁴

9. 7429 का अभाज्य गुणनखंड है–

(a) 17 × 19 × 23 ✅
(b) 17 × 9 × 23
(c) 7 × 19 × 23
(d) इनमें कोई नहीं

10. 5005 का अभाज्य गुणनखंड है–

(a) 6 × 7 × 11 × 13
(b) 5 × 7 × 11 × 7 × 13
(c) 5 × 7 × 11 × 13 ✅
(d) इनमें कोई नहीं

11. 3825 का अभाज्य गुणनखंड है–

(a) 3 × 3 × 5 × 5 × 17 ✅
(b) 3 × 3 × 5 × 5 × 17 × 17
(c) 3 × 5 × 5 × 17 × 17
(d) इनमें कोई नहीं

12. 225 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है–

(a) 3 × 3 × 5 × 5 ✅
(b) 2 × 2 × 3 × 3 × 5
(c) 2 × 2 × 2 × 3 × 7
(d) 2 × 2 × 2 × 3 × 5

13. अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 3 × 3 का मान है–

(a) 62
(b) 72 ✅
(c) 92
(d) 122

14. अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 3 × 5 का मान है–

(a) 72
(b) 96
(c) 120 ✅
(d) 140

15. अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 का मान है–

(a) 72
(b) 92
(c) 96 ✅
(d) 120

23. 96 और 404 का HCF है–

(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 16
उत्तर– (b)

16. 96 के अभाज्य गुणनखण्ड में 2 का अधिकतम घात है–

(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
उत्तर– (d)

17. 2052 के अभाज्य गुणनखंड में 3 का घात क्या है ?

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर– (d)

18. 2025 के अभाज्य गुणनखंड में 3 का घात क्या है ?

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर– (d)

19. 540 के अभाज्य गुणनखंड में 3 का अधिकतम घात है–

(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
उत्तर– (b)

20. यदि 120 = 2 × 3ˣ × 5 तो x का मान होगा–

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर– (c)

21. यदि 140 = 2ˣ × 5 × 7 तो x का मान होगा–

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर– (b)

22. यदि 156 = 2ˣ × 3 × 13 तो x का मान होगा–

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
उत्तर– (c)

24. 26 और 91 का HCF है–

(a) 7
(b) 13
(c) 182
(d) 117
उत्तर– (b)

25. 510 और 92 का HCF है–

(a) 2
(b) 60
(c) 85
(d) 23460
उत्तर– (a)

26. 6 और 20 का HCF है–

(a) 2
(b) 3
(c) 60
(d) 120
उत्तर– (a)

27. 336 और 54 का HCF है–

(a) 2
(b) 3
(c) 6
(d) 3024
उत्तर– (c)

28. 18 एवं 12 का HCF होगा–

(a) 3
(b) 6
(c) 4
(d) 12
उत्तर– (b)

29. 12, 15, 21 का म०स० (HCF) है–

(a) 4
(b) 12
(c) 3
(d) 420
उत्तर– (c)

30. 6, 72 और 120 का HCF क्या होगा ?

(a) 6
(b) 7
(c) 9
(d) 5
उत्तर– (a)

31. 2 तथा 0 का HCF है–

(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) ∞
उत्तर– (b)

32. 26 और 91 का LCM है–

(a) 7
(b) 13
(c) 182
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर– (c)

33. 6 और 20 का LCM है–

(a) 2
(b) 3
(c) 60
(d) 120
उत्तर– (c)

34. 0 एवं 5 का LCM होगा–

(a) 0
(b) 5
(c) 1
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर– (d)

35. 8, 9 और 25 का LCM क्या होगा ?

(a) 180
(b) 360
(c) 1800
(d) 3600
उत्तर– (c)

36. 12, 15 और 21 का LCM क्या होगा ?

(a) 520
(b) 420
(c) 220
(d) 320
उत्तर– (b)

37. HCF (306, 657) = 9 दिया है।

LCM (306, 657) होगा–
(a) 22338
(b) 2238
(c) 2233
(d) 22428
उत्तर– (a)

38. HCF (26, 91) = 13 दिया है। LCM (26, 91) होगा–

(a) 13
(b) 182 ✅
(c) 282
(d) 1822

39. HCF (510, 92) = 2 दिया है। LCM (510, 92) होगा–

(a) 23460 ✅
(b) 23560
(c) 23260
(d) इनमें कोई नहीं

40. HCF (336, 54) = 6 दिया है। LCM (336, 54) होगा–

(a) 3024 ✅
(b) 3124
(c) 3204
(d) इनमें कोई नहीं

41. HCF (6, 20) = 2 दिया है। LCM (6, 20) होगा–

(a) 20
(b) 26
(c) 60 ✅
(d) 6

42. 96 तथा 404 का महत्तम समापवर्त्य 4 दिया है।

96 तथा 404 का लघुत्तम समापवर्तक क्या होगा ?
(a) 8667
(b) 2338
(c) 2298
(d) 9696 ✅

43. यदि a और b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो a और b का महत्तम समापवर्तक है–

(a) a
(b) b
(c) 1 ✅
(d) ab

44. यदि a और b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो a और b का लघुत्तम समापवर्तक है–

(a) a
(b) b
(c) 1
(d) ab ✅

45. दो क्रमिक सम संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा–

(a) 0
(b) 1
(c) 2 ✅
(d) 4

46. दो लगातार विषम संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा–

(a) 0
(b) 1 ✅
(c) 2
(d) 3

47. संख्याओं 6 और 20 के HCF एवं LCM का अनुपात है–

(a) 1 : 6
(b) 1 : 60
(c) 1 : 30 ✅
(d) इनमें कोई नहीं

48. सबसे छोटी भाज्य एवं सबसे छोटी अभाज्य संख्या का म०स० होगा–

(a) 2 ✅
(b) 4
(c) 6
(d) 8

49. यदि HCF (a, 8) = 4 तथा LCM (a, 8) = 24 है, तो a का मान होगा–

(a) 8
(b) 10
(c) 12 ✅
(d) 72

(अभाज्य गुणनखंड, HCF–LCM)

अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात करें तथा फिर इनका LCM ज्ञात करें।
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 510 और 92 का HCF तथा LCM ज्ञात करें।
26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करें।
336 और 54 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करें।
संख्याओं 6 और 20 के अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात करें।
संख्याओं 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करें।
HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात करें।
HCF (26, 91) = 13 दिया है। LCM (26, 91) ज्ञात करें।
HCF (510, 92) = 2 दिया है। LCM (510, 92) ज्ञात करें।
HCF (336, 54) = 6 दिया है। LCM (336, 54) ज्ञात करें।
दो संख्याओं का म०स० 13 तथा ल०स० 182 है। यदि इनमें से एक संख्या 91 है, तो दूसरी संख्या का मान ज्ञात करें।
दो संख्याओं का ल०स० 20 तथा म०स० 5 है। यदि इनमें से दूसरी संख्या 5 है, तो पहली संख्या का मान ज्ञात करें।

1. कौन-सी संख्या अपरिमेय है ?

(a) √9
(b) √25
(c) √20
(d) √49
उत्तर– (c)

2. कौन-सी अपरिमेय संख्या नहीं है ?

(a) √11
(b) √15
(c) √9 × √16
(d) √5
उत्तर– (c)

3. कौन-सी अपरिमेय संख्या नहीं है ?

(a) π / 2
(b) √7
(c) √3 / √5
(d) 5√8 / √2
उत्तर– (d)

4. निम्न में कौन अपरिमेय संख्या नहीं है ?

(a) √7
(b) √2 / √5
(c) π
(d) √75 / √48
उत्तर– (d)

5. √2 है–

(a) एक परिमेय संख्या
(b) एक अपरिमेय संख्या
(c) सांत दशमलव
(d) असांत आवर्ती दशमलव
उत्तर– (b)

6. √3 है–

(a) पूर्णांक संख्या
(b) एक परिमेय संख्या
(c) एक अपरिमेय संख्या
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर– (c)

7. √5 किस प्रकार की संख्या है ?

(a) परिमेय
(b) विषम
(c) अपरिमेय
(d) सम
उत्तर– (c)

8. किस प्रकार की संख्या है ?

(a) परिमेय
(b) विषम
(c) अपरिमेय
(d) सम
उत्तर– (c)

9. 7√5 है–

10. 3√2 किस प्रकार की संख्या है ?

(a) परिमेय
(b) अपरिमेय
(c) पूर्णांक
(d) प्राकृत
उत्तर– (b)

11. 5 − √3 है–

12. 6 + √2 कैसी संख्या है ?

(a) परिमेय
(b) अपरिमेय
(c) वास्तविक नहीं
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर– (b)

13. 3 + 2√5 किस प्रकार की संख्या है ?

(a) परिमेय
(b) अपरिमेय
(c) वास्तविक नहीं
(d) इनमें कोई नहीं
उत्तर– (b)

14. 5 + 2√3 किस प्रकार की संख्या है ?

(a) परिमेय
(b) विषम
(c) अपरिमेय
(d) सम
उत्तर– (c)

सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 3√2 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि 5√3 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 5 − √3 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।