निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) class 10th maths

📘 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

(परीक्षा के लिए आसान और संक्षिप्त नोट्स)

🟢 1. परिचय (Introduction)

· किसी बिंदु (point) की स्थिति बताने के लिए दो अक्षों की जरूरत होती है:
· x-अक्ष (horizontal – क्षैतिज)
· y-अक्ष (vertical – ऊर्ध्वाधर)

· किसी बिंदु को (x, y) के रूप में लिखा जाता है:
· x = भुज (abscissa)
· y = कोटि (ordinate)

📌 उदाहरण: (4, 3)
मतलब – बिंदु x-अक्ष से 4 और y-अक्ष से 3 दूरी पर है।

🟢 2. अक्षों पर बिंदु (Points on Axes)

अक्ष	बिंदु का रूप	उदाहरण
x-अक्ष पर	(x, 0)	(5, 0)
y-अक्ष पर	(0, y)	(0, 7)

🟢 3. निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग

· इसमें बीजगणित + ज्यामिति दोनों का प्रयोग होता है।

उपयोग के क्षेत्र:
· भौतिकी (Physics)
· इंजीनियरिंग (Engineering)
· नेविगेशन (Navigation)
· भूकंप अध्ययन (Seismology)

🟢 4. ग्राफ (Graph) से रेखा और परवलय

समीकरण	आकृति
ax + by + c = 0	सीधी रेखा
y = ax² + bx + c	परवलय

🟢 5. दूरी की अवधारणा (Distance Concept)

· दूरी निकालने के लिए पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras theorem) का उपयोग करते हैं।

📌 उदाहरण:
यदि एक शहर दूसरे से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर है, तो
दूरी = √(36² + 15²)

🟢 6. एक ही अक्ष पर दूरी

अक्ष	बिंदु	दूरी
x-अक्ष पर	A(4, 0), B(6, 0)	6 - 4 = 2 इकाई
y-अक्ष पर	C(0, 3), D(0, 8)	8 - 3 = 5 इकाई

🟢 7. अलग-अलग अक्षों पर बिंदु

A(4, 0) और C(0, 3)

AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

👉 दूरी = 5 इकाई

🟢 8. सामान्य दूरी सूत्र (Distance Formula)

यदि दो बिंदु हों:
P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂)

PQ = √( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² )

🟢 9. उदाहरण (Examples)

Example 1:
P(4, 6), Q(6, 8)
PQ = √(4 + 4) = √8 = 2√2
👉 दूरी = 2√2 इकाई

Example 2:
P(6, 4), Q(-5, -3)
PQ = √(121 + 49) = √170
👉 दूरी = √170 इकाई

🟢 10. महत्वपूर्ण बातें (Important Points)

बात	विवरण
बिंदु का रूप	(x, y)
x = भुज (abscissa)
y = कोटि (ordinate)
x-अक्ष पर	y = 0
y-अक्ष पर	x = 0
दूरी	हमेशा धनात्मक (positive) होती है
वर्गमूल	धनात्मक मान लेते हैं

✅ निष्कर्ष (Conclusion)

स्थिति तरीका
एक ही अक्ष पर बिंदु सीधा घटाव
अलग-अलग बिंदु दूरी सूत्र (Distance formula) का प्रयोग

यह अध्याय गणित और वास्तविक जीवन दोनों में बहुत उपयोगी है।

📘 प्रश्नावली 7.1

1. बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:

(i) (2, 3), (4, 1)

(ii) (-5, 7), (-1, 3)

(iii) (a, b), (-a, -b)

2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) सरेखी हैं।

4. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, 2), (6, 4) और (7, 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, “क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?” चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है।

6. निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:

(i) (-1, -2), (1, 0), (1, 2), (-3, 0)

(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ हो।

8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2, 3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक हो।

9. यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, -3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। साथ ही दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

10. x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।